中学数学「円と三平方の定理の融合問題」

中学数学「円と三平方の定理の融合問題」です。円の中にある三角形の合同や相似の問題は、よく出題されるパターンです。今回は、標準問題を使って、円と相似、2方面シリーズについて復習していきます。

円と三平方の定理の融合問題

線分ABを直径とする円Oがある。下の図のように、円周上に点Cをとる。点Cから線分AB上に垂線をひき、その交点をDとする。また、∠CABの二等分線と線分BC、線分CDとの交点をそれぞれ、点F、点Eとし、点Fから線分ABに垂線をひき、その交点をGとする。このとき、（1）（2）の問いに答えよ。

（1）CF＝GFになることを証明せよ。
（2）AB＝5ｃｍ、AC＝4ｃｍのとき、CDの長さを求めなさい。

円と三平方の定理の融合問題の解答解説

（1）△ＡＣＦと△ＡＧＦにおいて
ＡＦ＝ＡＦ（共通）…①
∠ＣＡＦ＝∠ＧＡＦ（仮定）…②
∠ＡＣＦ＝∠ＡＧＦ＝90°（仮定）…③
①②③より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ＡＣＦ≡△ＡＧＦ　合同の図形において、対応する辺は等しいから、ＣＦ＝ＧＦとなる。
 
（2）2方面シリーズのパターン

△ＡＢＣに着目して、特別な直角三角形（3：4：5）より、ＢＣ＝3ｃｍとなる。
１笑ポイント！2方面シリ－ズ①より、ＡＣ×ＣＢ＝ＡＢ＝ＣＤとなるので、
4×3＝5×ＣＤを解くことになり、
ＣＤ＝12/5