高校受験対策数学「図形の融合問題」

高校受験対策数学「図形の融合問題」です。

図形の融合問題

次の図のような、正方形ABCD があり、辺 CD上に点Eをとり、頂点B、Dからそれぞれ線分AEに垂線をひき、その交点をF、G とする。AF=DG=3cm、BF=9cm のとき、(1)~(3)の各問いに答えなさい。

(1) △ABF≡△DAG であることを証明しなさい。

(2) 辺ABの長さを求めなさい。

(3) 直線DFと辺ABとの交点をPとするとき、△AFPの面積を求めなさい。

図形の融合問題の解答・解説

(1)
ABF と△DAG において
BF⊥AE、DG⊥AE より∠AFB= ∠DGA=90° …➀
仮定からAF=DG…➁
四角形ABCD は正方形だから AB=DA…➂
➀➁➂より、直角三角形で、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
△ABF≡△DAG

(2) 三平方の定理より、3√10(cm)

(3)

△ABF≡△DAG より、AG=BF=9cm

△AGD∽△DGE より、
AG:DG=DG:EG
9:3=3:EG
EG=1(cm)

三平方の定理よりDE=√10(cm)
FG=9-3=6(cm)より
EF=6+1=7(cm)

△FAP~△FEDより
AP:ED=AF:EF,
AP:10=3:7
AP=3√10/7(cm)

PF:DF=AF: EF=3:7 だから
PF:PD=3:10

よって、△AFP＝3/10△APD＝27/14 (cm²)