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中2数学「一次関数の定期テストでよく出る問題」

中2数学「一次関数の定期テストでよく出る問題」です。

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一次関数の定期テストでよく出る問題

【問1】次の問いに答えなさい。
(1)切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(2)点(1,5)を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(3)変化の割合が4で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(4)xの値が2増加すると、yの値が8増加し、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(5)y=4x+12と変化の割合が等しく、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(6)2点(1,5)、(3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
(7)x=1のときy=5、x=3のとき、y=13を通る1次関数の式を求めよ。
(8)y=4x+12のグラフと平行で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。

【問2】
1次関数y=4x-1において、xが-1から6まで増加するとき、xの増加量、変化の割合、yの増加量を求めなさい。

一次関数の定期テストでよく出る問題の解答解説

(1)切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。切片1、傾き4とあるので、b=1、a=4と置き換えられるでy=4x+1が答えとなります。

(2)点(1,5)を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(3)変化の割合が4で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、変化の割合=傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(4)xの値が2増加すると、yの値が8増加し、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、xの値が2増加すると、yの値が8増加とあるので、変化の割合=yの増加量/xの増加量より、8/2=4となり、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(5)y=4x+12と変化の割合が等しく、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、y=4x+12と変化の割合が等しく、つまり、傾きが4であるので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(6)2点(1,5)、(3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)問題6.7はまったく同じ意味ですね。例題6は、座標で表してあり、例題7は、それを言葉で表しているだけです。1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。2点(1,5)、(3,13)から、xが2増加すると、yが8増加していることから変化の割合は4、つまり傾きは、4であるので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

(7)x=1のときy=5、x=3のとき、y=13を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)(6)と同じ

点(3,13)を代入してもかまいませんが、数字が小さな組の方が計算しやすいですね。また、2点(1,5)、(3,13)をそれぞれy=ax+bに代入して、連立方程式を求めてもかまいません。

(8)y=4x+12のグラフと平行で、点(1,5)を通る1次関数の式を求めよ。
(解説)1次関数の式とあるので、y=ax+bの式で表します。また、y=4x+12のグラフと平行とありますので、関数において、「平行であること」は、「傾きが同じ」となり、傾きが4ですので、y=4x+bとおけます。それから、点(1,5)を通るので、x=1、y=5をy=4x+bに代入し、bを導きます。よって、y=4x+1が答えとなります。

【問2】
・xの増加量 7 (-1から6まで増加しているわけなので、7ですね。)
・変化の割合 4 (1次関数における変化の割合は、傾きでしたね。)
・yの増加量 28 (yの増加量=変化の割合(傾き)× xの増加量)

<一次関数の式>
1次関数の式、つまり直線の式(直線の方程式)は、式で表すとy=ax+bと表せます。

  • a=傾き=変化の割合=yの増加量/xの増加量
  • b=切片=(0,b)=xが0のときのyの値
  • 1次関数の場合、変化の仕方が一定なので、傾き=変化の割合でしたね。すなはち、yの増加量/xの増加量。これは、ダイヤグラムの問題において、(平均の)速さ=yの増加量(距離)/xの増加量(時間)となっていることもおさえておきましょう。
  • 関数において、「平行であること」は、「傾きが同じ」であることがいえます。
  • 点(1,5)とは、x=1、y=5であることの意味です。
  • 「8減少」とは「-8増加」という意味で、「減少」を「増加」の言葉に直すときは符号が変わります。

いずれも、同じ直線の式を求めていることが理解できるがポイントです。結局のところ、1次関数は、代入・置き換えゲームということが言えるでしょう。分数が出題されたときは、特に気をつけて計算しましょう。そして、座標が平方根でも同じなので、知っておいてください。座標に平方根(√)があってもいいのです。

<変化の割合>
1次関数(直線、直線の方程式)は、y=ax+bと表せました。

aは、比例定数であり、傾きだったわけですが、その傾きに注目です。傾きは、右上がりだったり、右下がりだったり、それが急だったり、少しずつだったりと傾きがあります。その傾きを見ることで、どのような変化をしているのか一目瞭然です。ですので、1次関数における傾きは、変化の割合を示しているといえます。

「a=比例定数=傾き=変化の割合」
ということになります。

傾きは、分数で表せますから(整数も分数で合わせます。<例>2=2/1)xの増加量に対する、yの増加量の割合を、変化の割合といいます。

a=比例定数=傾き=変化の割合=yの増加量/xの増加量

変化の割合(傾き)=yの増加量/xの増加量 → 等式変形を利用して(「き・は・じ」の要領で)
yの増加量=変化の割合(傾き)× xの増加量 となります。

YouTubeでも学べるように、問題に対しての解説動画をアップしています。高校入試対策や定期テスト対策にご利用ください。特に数学などは動画の方が分かりやすい場合もありますよね。
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