【高校入試数学対策】応用・発展レベルの練習問題

【高校入試数学対策】応用・発展レベルの練習問題です。

高校入試数学予想問題（応用・発展）

（問1）小問集合

（問2）連立方程式文章題
東西に延びている線路があり，途中には長さ800ｍのトンネルがある。毎日同じころに，貨物列車が西から東へ一定の速さで通るので，Aさん，Bさん，Cさんは，列車の速さと長さを知りたいと考えた。3人がそれぞれの場所で調べた内容と結果は，下のとおりである。この結果をもとに，貨物列車の速さを毎秒xm、長さをtmとして方程式をつくり，列車の速さと長さを求めなさい。

＜結果＞
Aさん 列車の先端から最後尾までが目の前を通過するのに要した時間12秒間
Bさん 列車の最後尾がトンネルに入った時刻：午後4時1分45秒
Cさん 列車の先端がトンネルから出た時刻：午後4時2分53秒

（問3）関数
下の図のように、原点をOとし、ｙ＝ａｘ2のグラフ上に3点Ａ、Ｂ、Ｐがある。3点Ａ、Ｂ、Ｐのｘ座標はそれぞれ、－2、4、ｔであり、点Ｂのｙ座標は4である。原点Ｏから直線ＡＢに垂線ＯＨをひく。このとき、次の問いに答えよ。ただし、0＜ｔ＜4とする。

（1）ａの値を求めよ。
（2）直線ＡＢの式を求めよ。
（3）線分ＡＢの長さを求めよ。
（4）線分ＯＨの長さを求めよ。
（5）点Ｐから直線ＡＢに垂線をひき、その交点をＱとする。このとき、ＰＱ＝ＯＨとなるｔの値を求めよ。

（問4）平面図形
1辺が6ｃｍの正三角形と、ＡＣ＝ＡＥの二等辺三角形ＡＥＤがＡＤ：ＤＥ＝5：1、ＡＤ：ＤＣ＝2：1になるように重なっています。このとき次の問いに答えよ。

（1）正三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
（2）△ＡＣＤの面積を求めよ。
（3）二等辺三角形ＡＣＥの面積を求めよ。

（問5）空間図形
図は、1辺の長さが4ｃｍの立方体で、Mは、辺ABの中点、LはDL:LA＝1：3となる点である。3点E、M、Lで通る平面でこの立方体を切断する。

（1）四面体A-ELMの体積を求めなさい。
（2）点MからLEに垂線MKをひき、LK＝ｘｃｍとするとき、線分MKに着目して方程式を作りｘを求めなさい。
（3）頂点Aから平面EMLの距離を求めなさい。

高校入試数学予想問題の解答（応用・発展レベル）

（問1）
（1）(a-4b)/3
（2）3/8x2y4
（3）-4mn+8n2
（4）2/5
（5）40√3

（問2）連立方程式文章題
y＝12x
68x＝800－y
これを解くと、x＝10　y＝120
これは問題に合う。

毎秒10ｍ　長さ120ｍ

（問3）関数
（1）a=1/4
（2）y=1/2x+2
（3）3√5
（4）4√5/5
（5）t=2

（問4）平面図形
（1）9√3
（2）3√3
（3）3√3/5

（問5）空間図形
（1）4
（2）9/5
（3）12√61/61