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中3数学「3学期学年末テスト対策問題」

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中3数学「3学期学年末テスト対策問題」です。
テスト範囲は、
・相似
・円周角の定理
・三平方の定理
・標本調査
となります。

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3学期学年末テスト対策問題(中3数学)

【問1】図のように、AB=3cm、BC=4cm、CA=2cmの△ABCと∠BACの二等分線lがある。点B,Cから直線lに垂線をひき、それぞれの交点をD、Eとする。また、直線lがBCおよび△ABCの外接円と交わる点をそれぞれF、Gとする。次の問いに答えよ。
外接円問題図
(1)BDとCEの長さの比を求めよ。
(2)BFの長さを求めよ。
(3)△ABGと△AFCが相似であることを証明せよ。

【問2】線分ABを直径とする円Oがある。下の図のように、円周上に点Cをとる。点Cから線分AB上に垂線をひき、その交点をDとする。また、∠CABの二等分線と線分BC、線分CDとの交点をそれぞれ、点F、点Eとし、点Fから線分ABに垂線をひき、その交点をGとする。このとき、(1)(2)の問いに答えよ。
円と三平方の定理問題図
(1)CF=GFになることを証明せよ。
(2)AB=5cm、AC=4cmのとき、CDの長さを求めなさい。

【問3】図において、底面が直角二等辺三角形で、側面はすべて長方形の三角柱ABC-DEFであり、∠EDF=90°、DE=DF=4√2 cm、AD=12cmとする。いま、点Pが頂点Bを出発して、辺BC上を矢印の向きに頂点Cまで毎秒1cmの一定の速さで動くとき、次の問いに答えなさい。
最短距離問題図
(1)辺ABとねじれの位置にある辺は何本か答えなさい。
(2)三角すいA-DEFの体積を求めなさい。
(3)AP+PFが最小となるのは、点Pが頂点Bを出発してから何秒後か求めなさい。

【問4】次の調査は、「全数調査」と「標本調査」のどちらかで行うのが適切か答えよ。

  1. メーカ-が実施する製品の寿命調査
  2. 学校で行うスポーツテスト
  3. テレビ番組の視聴率調査
  4. 入学試験の学力調査

【問5】

  1. ある工場で大量に製造される品物から、200個を無作為に抽出し、品質検査を行ったところ、平均して4個が不良品だった。同じ工場で1日5000個の品物を製造したとき、不良品は、およそ何個発生すると推測されるか求めなさい。
  2. 水そうに、赤い金魚が多くいる。赤い金魚の数を調べるために、黒い金魚100匹を水そうに入れ、その中から60匹の金魚を無作為に抽出し、黒い金魚の数を調べた後、抽出した60匹の金魚をすべてもとの水そうにもどす。これを繰り返しおこなったところ、黒い金魚の平均は、1回あたり12匹であった。このとき、水そうにいる赤い金魚は、約何匹と推定できるか、求めよ。

3学期学年末テスト対策問題(中3数学)の解答・解説

【問1】
(1)3:2
△ABD∽△ACE(2角相等)より、AB:AC=BD:CE=3:2

(2)12/5cm
角の二等分線定理より、AB:AC=BF:CF=3:2
よって、BF=4cm×3/5 =12/5cm

(3)
△ABGと△AFCにおいて
∠BAG=∠FAC(仮定)…①
∠AGB=∠ACF(弧ABの円周角)…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABG∽△AFC

【問2】(1)△ACFと△AGFにおいて
AF=AF(共通)…①
∠CAF=∠GAF(仮定)…②
∠ACF=∠AGF=90°(仮定)…③
①②③より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので
△ACF≡△AGF 合同の図形において、対応する辺は等しいから、CF=GFとなる。

(2)2方面シリーズのパターン
円と三平方の定理ポイント図
△ABCに着目して、特別な直角三角形(3:4:5)より、BC=3cmとなる。
1笑ポイント!2方面シリ-ズ①より、AC×CB=AB=CDとなるので、
4×3=5×CDを解くことになり、
CD=12/5

【問3】
(1)3本 
(2)64 
(3)5秒後

【問4】

  1. 標本調査
  2. 全数調査
  3. 標本調査
  4. 全数調査

<全数調査と標本調査>

  • 全数調査…調査対象すべてについて調査する。(例)あるクラスの生徒の視力調査
  • 標本調査…集団の一部を標本として取り出して調査し、全体の性質を推測する。(例)国勢調査、内閣支持率などの世論調査

■全数調査と標本調査の区別の仕方

  • 1人ひとり、1つひとつ調べることが目的、厳密な調査が必要→全数調査
  • 全体を調査するには、時間と労力などがかかかりすぎる→標本調査

■母集団の推定
母集団が大きい場合、集団の一部を標本として、その対象の全体を推測する問題。

公式

  • 対象となる全体 = 母集団の大きさ × 標本における対象の割合(※)
    (※)標本における対象の割合 =  対象の個数 ÷ 標本の大きさ

■全数調査と標本調査の例題
袋の中に、赤玉と白玉があわせて100個入っている。これをよくかき混ぜて20個取り出したところ、その中の5個が赤玉であった。

「標本における赤玉の割合を求めよ。」
⇒標本における対象の割合=対象の個数÷標本の大きさ
よって、5÷20=1/4

「玉を取り出す前、袋の中には、赤玉は約何個入っていたと考えられるか。」
⇒対象となる全体=母集団の大きさ×標本における対象の割合
よって、100×1/4=25  
約25個

【問5】
(解説)

  1. 標本調査より 標本における対象の割合は、4÷200=1/50よって、対象となる不良品全体は、 5000×(1/50)=1000
  2. 標本調査より、60匹中 赤:黒=48:12=4:1ということが問題よりわかる。実際は、黒は100匹なので、赤は約400匹とわかる。

(解答)

  1. 1000個
  2. 400匹
YouTubeでも学べるように、問題に対しての解説動画をアップしています。高校入試対策や定期テスト対策にご利用ください。特に数学などは動画の方が分かりやすい場合もありますよね。
数学
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