中2数学「よく出る2学期中間テスト問題」です。2学期の中間テストが近づいてきましたね。中学2年生の数学では、「連立方程式」と「一次関数」が重要なテーマとして登場します。これらの単元は、高校数学にもつながる大切な基礎となるため、しっかりと理解しておくことが重要です。
「連立方程式」では、代入法や加減法を使った解き方のコツを押さえ、文章問題にも対応できるようにしましょう。「一次関数」では、グラフの書き方や変化の割合の意味を理解し、直線の式をスムーズに求められるようにすることがポイントです。
この記事では、中間テストに頻出の問題を厳選し、分かりやすく解説します。しっかりと対策して、自信をもってテストに臨みましょう！
2学期中間テスト対策問題（中2数学）
【問1】次の問いに答えなさい。
（1）切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。
（2）点（1,5）を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。
（3）変化の割合が4で、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（4）ｘの値が2増加すると、ｙの値が8増加し、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（5）y=4x+12と変化の割合が等しく、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（6）2点（1,5）、（3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
（7）ｘ＝1のときｙ＝5、ｘ＝3のとき、ｙ＝13を通る1次関数の式を求めよ。
（8）y=4x+12のグラフと平行で、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
【問2】
1次関数y=4x-1において、xが-1から6まで増加するとき、xの増加量、変化の割合、ｙの増加量を求めなさい。
【問3】
周の長さが1.2ｋｍの遊歩道を、兄と弟が同時に同じ方向へそれぞれ一定の速さで走り始めた。15分後に兄は周回遅れの弟に追いついた。そこから弟は毎分50ｍの速さで歩き、兄は最初と同じ速さで走り続けたところ、5分後に再び弟に追いついた。最初の兄と弟の走る速さをそれぞれ、毎分ｘｍ、ｙｍとして連立方程式を作り、求めるまでの過程を書き求めよ。
【問4】
1次関数ｙ＝2ｘ+5について次の問いに答えよ。
（1）ｘの値が-2から3まで増加するとき、変化の割合を求めよ。
（2）ｘの増加量が3のとき、ｙの増加量を求めよ。
【問5】
2つの連立方程式が同じ解をもつとき、a,bの値を求めなさい。
【問6】
次の関数について、yをxの式で表しなさい。また、yがxの1次関数であるもには○、そうでないものには×をつけなさい。
（1）1辺がxcmの正方形の周の長さをycmとする。
（2）15kmの道のりを時速xkmで歩いたときにかかる時間をy時間とする。
（3）1本100円の鉛筆をx本と500円のふで箱を1個買ったときの代金をy円とする。
2学期中間テスト対策問題（中2数学）の解答
【問1】
（1）切片1、傾き4である1次関数の式を求めよ。
（2）点（1,5）を通り、傾き4である1次関数の式を求めよ。
（3）変化の割合が4で、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（4）ｘの値が2増加すると、ｙの値が8増加し、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（5）y=4x+12と変化の割合が等しく、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
（6）2点（1,5）、（3,13)を通る1次関数の式を求めよ。
（7）ｘ＝1のときｙ＝5、ｘ＝3のとき、ｙ＝13を通る1次関数の式を求めよ。
（8）y=4x+12のグラフと平行で、点（1,5）を通る1次関数の式を求めよ。
【問2】
xの増加量 7
変化の割合 4
ｙの増加量 28
【問3】
距離や時間の単位は、基本は、速さの単位に揃えるので、1.2km＝1200mとして求めていく。
1つ目の等式は、「➊兄と弟が同時に同じ方向へそれぞれ一定の速さで走り始めた。15分後に兄は周回遅れの弟に追いついた。」に注目して、50ｘ＝50ｙ+1200…①
2つ目の等式は、「➋そこから弟は毎分50ｍの速さで歩き、兄は最初と同じ速さで走り続けたところ、5分後に再び弟に追いついた。」に注目して、50ｘ＝250+1200…②
①と②の連立方程式を解くと
x=29、y=5となる。
兄の走る速さは、毎分29m
弟の走る速さは、毎分5m
【問4】
（1）2
（2）6
【問5】
a=-1 ,b=2
【問6】
（1）y=4x ○
（2）y=15/x ✕
（3）y=100x+500 ○
一次関数で知っておきたいこと
＜一次関数の式＞
1次関数の式、つまり直線の式（直線の方程式）は、式で表すとy=ax+bと表せます。
- a=傾き＝変化の割合＝yの増加量/ｘの増加量
- b=切片＝(0,b)＝xが0のときのｙの値
- 1次関数の場合、変化の仕方が一定なので、傾き＝変化の割合でしたね。すなはち、yの増加量/ｘの増加量。これは、ダイヤグラムの問題において、（平均の）速さ＝yの増加量（距離）/ｘの増加量（時間）となっていることもおさえておきましょう。
- 関数において、「平行であること」は、「傾きが同じ」であることがいえます。
- 点（1,5）とは、ｘ＝1、ｙ＝5であることの意味です。
- 「8減少」とは「－8増加」という意味で、「減少」を「増加」の言葉に直すときは符号が変わります。
いずれも、同じ直線の式を求めていることが理解できるがポイントです。結局のところ、1次関数は、代入・置き換えゲームということが言えるでしょう。分数が出題されたときは、特に気をつけて計算しましょう。そして、座標が平方根でも同じなので、知っておいてください。座標に平方根（√）があってもいいのです。
＜変化の割合＞
1次関数（直線、直線の方程式）は、y=ax+bと表せました。
aは、比例定数であり、傾きだったわけですが、その傾きに注目です。傾きは、右上がりだったり、右下がりだったり、それが急だったり、少しずつだったりと傾きがあります。その傾きを見ることで、どのような変化をしているのか一目瞭然です。ですので、1次関数における傾きは、変化の割合を示しているといえます。
「a＝比例定数＝傾き＝変化の割合」ということになります。
傾きは、分数で表せますから（整数も分数で合わせます。＜例＞2＝2/1）xの増加量に対する、yの増加量の割合を、変化の割合といいます。
a＝比例定数＝傾き＝変化の割合＝yの増加量/xの増加量
変化の割合（傾き）＝yの増加量/xの増加量 → 等式変形を利用して（「き・は・じ」の要領で）
ｙの増加量＝変化の割合（傾き）× xの増加量 となります。
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