高校入試対策数学「相似な三角形の練習問題」

高校入試対策数学「相似な三角形の練習問題」です。

相似な三角形の高校入試対策練習問題

下の図の△ＡＢＣで、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとし、線分ＡＤの垂直二等分線と辺ＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。ＥとＤ、ＦとＤをそれぞれ結ぶ。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）∠ＥＡＤと大きさが等しい角は∠ＦＡＤのほかに2つある。この2つの角を書け。
（2）△ＥＢＤ∽△ＦＤＣであることを証明せよ。
（3）ＥＢ＝2ｃｍ、ＥＤ＝4ｃｍのとき、ＦＣの長さを求めよ。

相似な三角形の高校入試対策練習問題の解答・解説

（1の解説）
四角形ＡＥＤＦは、対角線が直交し、1つの対角線の中点で交わっているので、ひし形である。よって、∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＤ＝∠ＥＤＡ＝∠ＦＤＡとなる。

（1の解答）
∠EDA　∠FDA

（2の解答）
△ＥＢＤと△ＦＤＣにおいて、
（1）より四角形ＡＦＤＦは、ひし形なので、ＡＢ//ＦＤ、ＡＣ//ＥＤとなる。
だから、∠ＥＤＢ＝∠ＦＣＤ（同位角）…①
∠ＥＢＤ＝∠ＦＤＣ（同位角）…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しい。よって、△ＥＢＤ∽△ＦＤＣ

（3の解説）
図示より、△ＢＥＤ∽△ＢＡＣ（2組の角がそれぞれ等しい）の帽子型より、ＥＢ：ＢＡ＝ＥＤ：ＡＣなので
2：6＝4：（ｘ+4）となり、ｘ＝8となる。

（3の解答）
8ｃｍ