中3数学「二次方程式の利用の問題」

中3数学「二次方程式の利用の問題」です。

二次方程式の利用の問題

次の問いに答えなさい。
(1) 連続する3つの正の整数がある。もっとも小さい数を2乗すると、残りの2つの数の和より5大きくなる。もっとも小さい数をとして、についての方程式をつくり、これら3つの整数を求めなさい。

(2) 連続する3つの整数がある。もっとも大きい数の2乗が、残りの2つの数の和の2乗より72小さくなるとき、これら3つの整数を求めなさい。

(3) 連続する3つの正の整数がある。まん中の数の2乗が、残りの2つの数の和より63大きくなるとき, これら3つの整数を求めなさい。

(4) 大小2つの自然数がある。その差は6で、小さい方の数を2乗した数は、大きい方の数の2倍に3を加えた数に等しい。これらの2つの自然数を求めなさい。

(5) ある数xに5を加えて2乗するところを、xに5を加えて2倍したため、答えが35小さくなった。xの値を求めなさい。

二次方程式の利用の問題の解答・解説

(1) 連続する3つの正の整数は、x+1, x+2 と表されるから,
x²=(x+1)+(x+2)+5
x²-2x-8=0
(x+2) (x-4)=0
x=-2,4
は正の整数だから、 x=-2は問題にあわない。
x=4 は問題にあっている。
x=4 のとき, 3つの続いた正の整数は、 4, 5, 6
答 4, 5, 6

(2) もっとも小さい整数を x とすると、連続する3つの整数はx,x+1, x+2 と表されるから,
(x+2)={x+(x+1)}²-72
-3x²=-75
x²=25
x=±5
x は整数だから、これらは問題にあっている。
x=5のとき、残りの2つの数は, 6, 7
x=-5 のとき、残りの2つの数は, -4,-3
5, 6, 7 / -5, -4, -3

(3) まん中の数をxとすると、連続する3つの正の整数は x-1, x, x+1 と表されるから,
x²=(x-1)+(x+1) +63
x²-2x-63=0
(x+7)(x-9)=0
x=-7,9
xは正の整数だから、x=-7は問題にあわない。 x = 9 は問題にあっている。
x=9 のとき、もっとも小さい数は 9-1=8, もっとも大きい数は 9+1=10
答 8, 9, 10

(4) 小さい方の自然数を x とすると、大きい方の自然数は x+6 と表されるから,
x²=2(x+6)+3
x²-2x-15=0
(x+3)(x-5)=0
x=-3,5
は自然数だから、x=-3は問題にあわない。x=5 は問題にあっている。
x=5のとき、大きい方の自然数は, 5+6=11
だから
答 5と11

(5)
(x+5)²-35=2(x+5)
x²+8x-20=0
(x-2)(x+10)=0
x=2, -10
これらは問題にあっている。
答 x=2, -10