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中2数学「後期期末テスト対策問題」

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中2数学「後期期末テスト対策問題」となります。
テスト範囲としては
・角度を求める(多角形)
・合同の証明
・確率
となっています。

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3学期学年末テスト対策問題(中2数学)

【問1】次の問いに答えなさい。
(1)十角形の内角の和を求めなさい。
(2)内角の和が900°となるのは何角形ですか。
(3)正六角形の1つの外角の大きさを求めなさい。
(4)1つの外角の大きさが30°になるのは、正何角形ですか。
(5)正十角形の1つの内角を求めなさい。

【問2】図において、AB//CD、OB=OC ならば OA=OD であることを証明しなさい。
三角形の合同問題図

【問3】A,Bの2人がじゃんけんを1回するとき,次の各問いに答えなさい。
(1)2人のいし(グー),はさみ(チョキ),かみ(パー)の出し方は全部で何通りあるか答えなさい。
(2)1の出し方はどれも同様に確からしいと考えて,2人があいこになる確率を求めなさい。

【問4】赤と白の2色のカードが2枚ずつ計4枚あり,各色のカードには1,2の数字が1つずつ書いてあります。この4枚のカードをよくきって,1枚ずつ続けて2回ひき,ひいた順に1列に並べます。このとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1)カードの並び方は全部で何通りありますか。
(2)2枚のカードが色も数字も異なる確率を求めなさい。

【問5】修学旅行で,孝君,洋君,和夫君,明君,信一君の5人は同じ班であるが,ホテルでは,2人部屋と3人部屋に分かれることになった。そこで,次のような方法を考えた。
①5本のうち2本にまる印をつけたくじを準備し,封筒に入れる。
②5人がそれぞれ1本ずつくじを選び,同時にひく。
③●印のついたくじをひいた人が2人部屋,そうでない人が3人部屋とする
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)5人の部屋の分かれ方は全部で何通りありますか。
(2)孝君と洋君が同じ部屋になる確率を求めなさい。

3学期学年末テスト対策問題(中2数学)の解答

【問1】
<今回使う公式集>
①n多角形の内角の和  180(n-2)°
②n角形の外角の和  360°
③1つの内角+1つの外角=180°
正n角形において
④1つの外角= 360/n角形
⑤1つの内角=180-1つの外角=180- (360/n角形)

(1)①の公式より、180(10-2)=180×8=1440
(2)①の公式より、180(n-2)=900    ※この問題は、最初に必ず180で割ることで計算が速くなる。
(n-2)=5
n=7
(3)④の公式より、360÷6=60
(4)④の公式より、360÷30=12
(5)まず一つの外角を求めることが先決!
④の公式より、360÷10=36°←1つ外角
③の公式より、1つの内角=180-36=144°となる。

(解答)
(1)1440°
(2)七角形
(3)60°
(4)十二角形
(5)144°

多角形の内角の和とくれば、180(n-2)、おおよそ全員がすぐ口にできると思いますが、入試では、そのように一筋縄で解ける問題は出題されません。その他に、4つ。すらすらと公式が出てくる必要があります。

【問2】
△OABと△ODCで、
OB=OC…①
∠AOB=∠DOC…②
AB//CDより、錯角は等しいので∠ABO=∠DCO…③
①,②,③より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△OAB≡△ODCよって、OA=OD

<理由となりうるのもの>
仮定
共通な辺
共通な角
●●//××より、錯覚は等しい
●●//××より、同位角は等しい
正三角形の性質
二等辺三角形の性質
平行四辺形の性質
また
∠A=90-∠C…③
∠B=90-∠C…④
③④より∠A=∠B など
<三角形の合同条件>
3組の辺がそれぞれ等しい
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
<直角三角形の合同条件>
斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

■三角形の合同の証明の流れ
大きく2つあるのそれぞれ書きます

<基本型>
△(    )と△(    )において
(    )=(    )…①
(    )=(    )…②
(    )=(    )…③
①②③より(  合同条件  )なので
△(    )≡△(    )

※直角三角形の合同を証明するときの多くは、(    )=(    )=90°…①となりますが、直角三角形の合同を証明する問題でも直角三角形の合同条件を使わず三角形の合同条件を使って解く場合も少なくありません。

<A=B=Cの型>
△(    )と△(    )において
(    )=(    )…①
(    )=(    )…②
(    )=【    】…③
(    )=【    】…④
③④より(    )=(    )…⑤
①②⑤より(  合同条件  )なので
△(    )≡△(    )
【    】は、90°-∠ACBなど同じ式になる場合が多いです。

■合同の証明のポイント
三角形の合同の証明は、以上のような流れになりますが、ポイントとしては、問題文を読み、仮定から、どの合同条件が使えるかを予測し、その条件に合うように、等しい辺、角を見つけて、証明していくだけです。

【問3】
まずは、樹形図を描きます。
確率解説図1

(2)(1)の樹形図を利用して、場合の数は、9通りで、あいこになるのは3通りなので、3/9となり、1/3

【問4】
「1回戻す」のか、「同時または続けて」なのか。「数字を作るのか、作らないのか」を吟味して、樹形図を描き解きます。4パタ-ンでしたね。
①「1回戻し」+「数字を作る」
②「1回戻し」+「数字は作らない」
③「同時または続けて」+「数字を作る」
④「同時または続けて」+「数字を作らない」
この問題では、③「同時または続けて」+「数字を作る」となり、以下のような樹形図となる。
確率解説図2

以上のようになり、12通り
(2)(1)の樹形図を利用すると、場合の数は、12通りで、2枚のカードが色も数字も異なるのは4通りなので、4/12より、1/3。

【問5】
(1)
確率解説図3

2人部屋の組み合わせが決まれば、自動的に残りが3人部屋になるので、樹形図より、10通り。

(2)
確率解説図4

樹形図を利用して、場合の数は、10通りで、君と洋君が同じ部屋になるのは、4通りなので、4/10より2/5となる。

YouTubeでも学べるように、問題に対しての解説動画をアップしています。高校入試対策や定期テスト対策にご利用ください。特に数学などは動画の方が分かりやすい場合もありますよね。
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