▶YouTube勉強動画チャンネル【トイトク】

中3数学「後期期末テスト対策問題」

スポンサーリンク

中3数学「後期期末テスト対策問題」です。
テスト範囲は、
「二次方程式文章題」
「二次関数」
「相似」
「三平方の定理」
「円周角の定理」
となっています。高校入試対策としてもご利用いただけます。
難易度は、「高校入試レベル」となっています。

スポンサーリンク

後期期末テスト対策問題(中3数学)

【問1】次の問いに答えなさい。
図は,ある月のカレンダーである。この中のある数をxとする。xのすぐ真上の数とxの右どなりの数をかけたものはxに3を加えた数の9倍したものに等しい。このとき,xを求めなさい。ただし,xについての方程式をつくり,答えを求めるまでの過程も書きなさい。

【問2】次の問いに答えなさい。
1個50円で売ると、1日に200個売れる商品がある。この商品の値段を1円下げるごとに、1日の売り上げ個数が8個ずつ増える。そこで、1日の売り上げ額を11200円にしたい。この商品の値段をx円値下げするものとして、xを求めなさい。方程式をつくり、求める過程も書け。ただし、消費税は考えないものとする。

【問3】図1のように、AB=BC=12cm、∠ABC=90°の直角二等辺三角形がある。点Pは、頂点Aを出発し、辺AB、BC上を通って、頂点Cまで毎秒2cmの速さで進み、頂点Cで停止する。また、点Qは点Pが出発すると同時に頂点Bを出発し、辺BC上を通って、頂点Cまで毎秒1cmの速さで進み、頂点Cで停止する。このとき、点Pと点Qが同時に出発してからx秒後の△APQの面積をycm2とする。図2は、点Pと点Qが同時に出発してから頂点Cに着くまでのxとyの関係をグラフに表したものである。
2つの動点問題

(1)点Pと点Qが同時に出発してからの3秒後の△APQの面積を求めなさい。
(2)xの変域が0≦x≦6のとき、yをxの式で表せ。
(3)xの変域が6≦x≦12のとき、yをxの式で表せ。
(4)点Pが辺BC上にあるとき、△APQの面積と△APBの面積が等しくなるのは点Pと点Qが同時に出発してから何秒後か求めなさい。

【問4】下の図のようには、AB=8、AC=6、∠BAC=60°の△ABCがある。∠BACの二等分線と辺BCの交点をD、点Cを通りADに平行な直線と辺BAの延長の交点をEとする。次の問いに答えよ。
面積比問題図
(1)BD:DCをできるだけ簡単な整数比で表しなさい。
(2)△ABDと△ACEの面積の比をできるだけ簡単な比で表しなさい。
(3)辺CEの長さを求めなさい。

【問5】正方形ABCDがある。図のように、頂点Cを中心としおて、半径BCの円をかく。辺AD上に点Eを、弧BD上に点Fを、DE=FEとなるようにとり、線分CF,CE,EFを引く。このとき、次の問いに答えなさい。
おうぎ形の問題

(1)△CDEと△CFEが合同であることを証明しなさい。
(2)問題図において、CF=4√3、DE=4cm、∠DCE=30°のとき、弧BDと線分EFと線分DEに囲まれた部分の面積を求めなさい。

後期期末テスト対策問題(中3数学)の解答

【問1】
「xのすぐ真上の数とxの右どなりの数をかけたもの」で1つ式を作る。…(x-7)(x+1)
「xに3を加えた数の9倍したもの」で1つ式を作る。…9(x+3)
それぞれは、「等しい」ので、方程式で解いていく。

カレンダー問題

(x-7)(x+1)=9(x+3)
これを解くと、
x=-2,17
x>0より
x=17

【問2】
(200+8x)(50-x)=11200
x=10、15  
これは問題に合う。
(答え)10円または15円

■二次方程式の解法
二次方程式の解き方は、全部で大きく4つのパターンなります。(1)平方根を利用(2)因数分解を利用(3)解の公式の利用(4)平方完成の利用に分かれます。

(1)平方根を利用
【ことば】36の平方根は±6
【式】±√36は±6

これを方程式で表すと
【方程式】x2=36 よってx=±6
2乗つまり、2次式の方程式となっているので、2次方程式と言います。

【ことば】36の平方根は±6を【方程式】としてx2=36 よってx=±6 解いているので、平方根を利用して、2次方程式を解いていることになりますね。

■平方根を利用して解くときのポイント
(1)数字は右辺に移項する。
(2)xの係数は1にする。

<例題>
2x2-72=0 …(1)数字は右辺に移項する。
2x2=72 …(2)xの係数は1にする。
2=36 …平方根を利用する。
x=±6

(2)因数分解を利用
まず、次の方程式を見てください。
(x-3)(x+5)=0
(x-3)をA、(x+5)をBとすると
A×B=0となります。
AとBをかけて、0にならないといけないので、

A=0のときを考えると 
x-3=0
x=3

B=0のときを考えると
x+5=0
x=-5

よって、x=3、-5となります。(かっこの中の符号をかえただけですね。)

(x-3)(x+5)=0
は、左辺を展開すると
2+2x-15=0ですね。2次方程式となっています。

「x2+2x-15=0を解きなさい」とくれば、
因数分解を利用して、
(x-3)(x+5)=0として解けばいいですね。

■因数分解を利用するときのポイント
(1)xの項があるときに使う。 (2x2-72=0は、xの項がなく、x2の項しかないので、平方根の利用)
(2)x2の項、xの項、数字=0の順に並べ替える。(移項)
(3)xの係数は1にする。
(4)因数分解を利用して解く。

<例題>
2x2+4x=30  …x2の項、xの項、数字=0の順に並べ替える。(移項)
2x2+4x-30=0 …xの係数は1にする。(この場合は、2で全て割ればいいですね)
2+2x-15=0 …因数分解を利用して解く。
(x-3)(x+5)=0
x=3、-5

(3)解の公式を利用
2-3x-15=0のように、因数分解が利用できないときに、解の公式を利用します。

<解の公式>
解の公式

2-3x-15=0では、a=1、b=-3、c=-15なので、それぞれ代入して解きます。

(4)平方完成の利用
2+10x-8=0も、因数分解が利用できないときに、解の公式を利用してもかまいませんが、この問題は、a=1、b=偶数なので、平方完成を利用した方が、解にたどり着くまでが早く、計算のミスが減ります。

平方完成の利用の解法の手順
(1)数字は、右辺に移項
(2)両辺にxの係数を2で割って、2乗した数を加えます。
(3)左辺を因数分解をする。(  )2になります。
(3)平方根を利用して解きます。

<例題>
2+10x-8=0 …数字は、右辺に移項
2+10x=8 …両辺にxの係数を2で割って、2乗した数を加えます
2+10x+25=8+25 …25は、xの係数10を2で割って、2乗した数。
(x+5)2=33
x+5=±√33
x=-5±√33

【問3】
(1)9
(2)y=x2
(3)y=-6x+72 
(4)8秒後

【問4】
(1)4:3 
角の二等分線定理より、AB:AC=BD:DC=8:6=4:3

(2)16:21 
面積比解説図1
BD:CD=4:3より、面積比△ABD:△ACD=4:3…①
相似比4:7である△ABD∽BECなので面積比△ABD:△BEC=16:49…②
①②より、比を合わせる(△ABDの比が4と16で表せている。)
すると、面積比△ABD:△ACD=4:3=16:12…③
ここで、△ACEの面積(比で表す)=△BEC-△ABC=49-28=21となる。
よって、△ABD:△ACE=16:21

(3)6√3
面積比解説図2
点Aから線分CEに垂線を下ろした交点をRすると、△AERは、特別な直角三角形
(1:2:√3)
のことにより、ER=3√3 となる。
△ACEは二等辺三角形より、CE=2×ER=2×3√3= 6√3

【問5】
(1)
△CDE と△CFE において
仮定より、DE=FE …①
共通な辺より CE=CE…②
円の半径の長さは、等しいので CD=CF…③
①②③より、3 組の辺がそれぞれ等しいので、
△CDE≡△CFE

(2)16√3-8π
四角形CDEF-おうぎ形CDF

YouTubeでも学べるように、問題に対しての解説動画をアップしています。高校入試対策や定期テスト対策にご利用ください。特に数学などは動画の方が分かりやすい場合もありますよね。
数学
スポンサーリンク
スポンサーリンク
トクココ

コメント

テキストのコピーはできません。
タイトルとURLをコピーしました