高校受験対策・数学「平面図形の対策問題」

高校受験対策・数学「平面図形の対策問題」です。

平面図形の対策問題（高校入試数学）

【問1】
下の図の△ＡＢＣで、∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとし、線分ＡＤの垂直二等分線と辺ＡＢ，ＡＣとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。ＥとＤ、ＦとＤをそれぞれ結ぶ。このとき、次の問いに答えなさい。

（1）∠ＥＡＤと大きさが等しい角は∠ＦＡＤのほかに2つある。この2つの角を書け。
（2）△ＥＢＤ∽△ＦＤＣであることを証明せよ。
（3）ＥＢ＝2ｃｍ、ＥＤ＝4ｃｍのとき、ＦＣの長さを求めよ。

【問2】
AC=BCの二等辺三角形ABCがある。図Ⅰのように、辺ABの中点Dをとり、点Dと点Cを結ぶ。点Dを通り、辺BCに垂直な直線と辺BCの交点をEとする。次の問いに答えなさい。

（1）△ACD∽△BDEであることを証明しなさい。
（2）AC=aｃｍ、△ABCの面積が10ｃｍ2のとき、線分DEの長さをaを使って表せ。
（3）図Ⅱは、図Ⅰを∠DBC=∠DCBになるようにした図である。このとき、四角形ADECの面積は△ABCの面積の何倍ですか。

【問3】
図のように、円の周上にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、ＡＤとＢＣの交点をＥとし、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ、ＡＢ＝6ｃｍ、ＢＣ＝5ｃｍ、ＣＡ＝4ｃｍである。次の各問いに答えよ。

（1）ＢＥ：ＥＣをもっとも簡単な整数の比で表しなさい。
（2）ＡＥの長さとＥＤの長さの積を求めよ。
（3）ＡＥの長さとＡＤの長さの積を求めよ。
（4）ＡＥの長さを求めよ。

【問4】
1辺が6ｃｍの正三角形と、ＡＣ＝ＡＥの二等辺三角形ＡＥＤがＡＤ：ＤＥ＝5：1、ＡＤ：ＤＣ＝2：1になるように重なっています。このとき次の問いに答えよ。

（1）正三角形ＡＢＣの面積を求めよ。
（2）△ＡＣＤの面積を求めよ。
（3）二等辺三角形ＡＣＥの面積を求めよ。

平面図形の対策問題（高校入試数学）の解答

【問1】
（1の解説）
四角形ＡＥＤＦは、対角線が直交し、1つの対角線の中点で交わっているので、ひし形である。よって、∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＤ＝∠ＥＤＡ＝∠ＦＤＡとなる。

（1の解答）
∠EDA　∠FDA

（2の解答）
△ＥＢＤと△ＦＤＣにおいて、
（1）より四角形ＡＦＤＦは、ひし形なので、ＡＢ//ＦＤ、ＡＣ//ＥＤとなる。
だから、∠ＥＤＢ＝∠ＦＣＤ（同位角）…①
∠ＥＢＤ＝∠ＦＤＣ（同位角）…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しい。よって、△ＥＢＤ∽△ＦＤＣ

（3の解説）
図示より、△ＢＥＤ∽△ＢＡＣ（2組の角がそれぞれ等しい）の帽子型より、ＥＢ：ＢＡ＝ＥＤ：ＡＣなので
2：6＝4：（ｘ+4）となり、ｘ＝8となる。

（3の解答）
8ｃｍ

【問2】
（1）△ACDと△BDEにおいて、
∠CAD＝∠DBE（二等辺三角形ABCの底角）…①
∠ADC＝∠BED＝90°（仮定）…②
①②より、2組の角はそれぞれ等しい。
よって、△ACD∽△BDE

（2）10/a
（3）3/4

【問3】
（1）3：2
（2）6
（3）24
（4）3√2

【問4】
（1）9√3
（2）3√3
（3）3√3/5